Cáncer: terapias y tratamientos

Una visión diferente sobre el cáncer

Extensión matemática del trabajo de Antonio Brú

Posted by ayudacancer en septiembre 26, 2006

Desde el punto de vista matemático, el trabajo de Antonio Brú se basa en el análisis de soluciones fractales de ciertas ecuaciones diferenciales.  Recientemente, han aparecido dos trabajos que abundan y pretenden ampliar dicho análisis en el caso de geometrías esféricas, más parecidas a las de los tumores reales…

 

 Se trata del trabajo de Carlos Escudero, actualmente en el Mathematical Institute, University of Oxford. Las referencias concretas son:

 C. Escudero, Phys. Rev. E 73, 020902(R) (2006) y Phys. Rev. E 74, 021901 (2006).  El abstract (en inglés) de éste último es el siguiente:

Tumor growth has a number of features in common with a physical process known as molecular beam epitaxy. Both growth processes are characterized by the constraint of growth development to the body border, and surface diffusion of cells and particles at the growing edge. However, tumor growth implies an approximate spherical symmetry that makes necessary a geometrical treatment of the growth equations. The basic model was introduced in a former paper [C. Escudero, Phys. Rev. E 73, 020902(R) (2006)], and in the present work we extend our analysis and try to shed light on the possible geometrical principles that drive tumor growth. We present two-dimensional models that reproduce the experimental observations, and analyze the unexplored three-dimensional case, for which interesting conclusions on tumor growth are derived.

 En dichos trabajos, el autor analiza las ecuaciones diferenciales propuestas en los trabajos de Brú (MBE y QEW) y las diferencias existentes entre las soluciones en simetría lineal y esférica.  Los artículos son ciertamente técnicos, por lo que nos limitaremos aquí a traducir brevemente algunas de las conclusiones del autor:

“Motivado por la satisfactoria investigación sobre crecimiento tumoral de Brú y colaboradores, hemos introducido modelos teóricos capaces de reproducir algunas de las características encontradas en sus experimentos. También hemos analizado estos modelos para  entender qué está sucediendo desde el punto de vista físico. Los modelos se han obtenido como el desarrollo de un potencial, que resultó en un desarrollo en serie de potencias de la   curvatura media de la superficie. El efecto de la parte determinista de las ecuaciones es reducir la curvatura media y sus diversas energías, de forma que se reduce la presión en la frontera del tumor y favorece el crecimiento del tumor.  Puesto que todos los experimentos fueron realizados en dos dimensiones , es importante desarrollar modelos teóricos  y extenderlos al caso tridimensional. De esta manera  conseguiremos una comprensión de la evolución del sistema tridimensional más realista, y podemos derivar conclusiones  para experimentos futuros.  Hemos analizado el efecto de la estocasticidad en estas ecuaciones, y hemos demostrado que los efectos estocásticos son mucho  menos relevante en el caso de crecimiento tridimensional. También,  hemos discutido el posible origen del ruido subyacente del sistema, y cómo puede su intensidad  ser incrementada, aumentando el número de células inmunes en  el entorno del tumor. Esto demuestra que la estrategia de realzar  la inmunorespuesta para parar el crecimiento del tumor  debe ser menos eficaz en el caso de tumores tridimensionales.  Además de esto, hemos demostrado la aparición de un nuevo término en el caso tridimensional. El origen de este término es muy interesante, porque desaparece idénticamente   en el caso de una geometría plana. Por tanto, aparece en la  dinámica del tumor como efecto combinado de la dimensionalidad y de la geometría. Este término contribuye a reducir al mínimo  la presión y favorecer el crecimiento del tumor. Puesto que está  presente solamente en el caso tridimensional, se trata de otro mecanismo que ayuda a la propagación del tumor en 3 dimensiones, lo que nos conduce a concluir que es mucho más difícil  parar un tumor tridimensional que parar sus equivalentes de dos dimensiones”.

 Por último, el autor incluye algunas direcciones futuras de investigación teórica.

QEW

[Imagen: Interfase fractal generada con un modelo QEW]

En términos técnicos, cabe destacar que el autor se limita a estudiar el caso de modelos linealizados. Por otro lado, los modelos lineales de A. Brú serían el límite de pequeña curvatura de dichos modelos, es decir en el caso de tumores de cierto tamaño, aunque no se comenta las posibles equivalencias entre ambas aproximaciones. Por último, algunos comentarios acerca de la influencia de los factores externos sobre los coeficientes de los términos deterministas recuerdan a los de un reciente artículo de Brú: A. Brú and D. Casero, The effect of pressure on the growth of tumour cell colonies, Journal of Theoretical Biology,doi:10.1016/j.jtbi.2006.05.020 

Si las matemáticas han dado lugar a la propuesta de Brú, las mismas matemáticas deberían seguir investigándose para detectar posibles fallos y mejoras. Esperemos que no se desatiendan estos trabajos.  Por lo pronto, parece que su grupo sigue también en la vía matemática, dado que hay dos artículos de reciente o futura publicación a este respecto:

A. Bru, D. Casero, S. De Franciscis, M. A. Herrero,  “Fractal analysis of tumour growth”, Math. Comp. Model., in press (2006)

A. Bru and M. A. Herrero, “From the physical laws of tumor growth to modelling cancer processes”, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 16 (2006) 1199–1218.

Fuentes:  Modelling, Mathematical Methods and Computer Simulation of Tumour Growth and Therapy. Marie Curie Research Training Network

Neutrófilos in-vitro

Imagen curiosa: movimiento de neutrófilos in-vitro, y correlación entre movimiento y niveles de calcio intracelular.

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